Ich tippe auch auf die Batterie!
Versuchs mal mit einem Starthilfekabel dann wird ER bestimmt anspringen.
Das Klackern kommt vermutlich vom Starterrelais:
Relais zieht an, Strom fließt zum Starter, Spannung bricht zusammen, Relais lässt wieder los, Batterie erholt sich, Relais zieht an, Strom fließt zum Starter ... usw.
Einfach mal beim Starten die Spannung mit deinem Multimeter an den Batteriepolen messen, fällt dann wahrscheinlich deutlich ab.
Wenn eine Batterie nicht mehr in Ordnung ist hat sie oft nur noch sehr wenig Kapazität, also keine Reserven mehr.
Ist nicht selten, dass diese Batterien dann zusammen brechen wenn es kalt wird.
Mit dem Ladegerät bekommt man die Spannung zwar noch auf 13,x Volt aber das geht, wie beobachtet, sehr schnell und bedeutet, dass dann auch nur wenig Strom drin ist.
Laden bringt dann nichts mehr und wenn ER mit der frisch geladenen Batterie doch noch mal anspringt ist die Batterie i.d.R. am nächsten Tag schon wieder tot.